MATURITA Z MATEMATIKY


Výroky

Zadanie: Definujte, čo je výrok, hypotéza, negácia, quantifikátory, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia.

Riešenie: Výrok je každá oznamovacia veta o ktorej má zmysel hovoriť, či je pravdivá alebo nepravdivá. Ak je výrok pravdivý, jeho pravdivostná hodnota(PH) je 1, ak je nepravdivý tak PH=0. Výroky sa označujú veľkými tlačenými písmenami.

Príklad:
A: Bratislava je hlavné mesto Slovenska PH(A)=1
B: 2+3 je menšie ako 1 PH(B)=0
C: 2x=4 nie je výrok

Hypotéza je oznamovacia veta o ktorej v danom momente nevieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.
Negácia výroku A je výrok A', ktorý popiera to, čo výrok A tvrdí. Ku každému výroku A možno utvoriť výrok A'.

Príklad:
A'= Nie je pravda, že A (Bratislava je hlavné mesto Slovenska).
A''= A
B': 2+3 je väčšie a rovné 1.
D: Aspoň 5 žiakov má úlohu.
D': Najviac 4 žiaci nemali úlohu.
E: Všetky okná sú zatvorené.
E': Aspoň 1 okno je zatvorené.

Quntifikatory vyjadrujú údaje o počte.
Vo výrokoch sa stretneme predovšetkým so všeobecným a existenčným quantifikátorom:

Všeobecný ∀(pre každé, každý)
Existenčný ∃(existuje)
∈(patrí)
Príklad:
[∀x∈R; x2≥0]=∃x∈R; x2<0
∃x∈N; x2=4 PH=0
[∀,A]=∃;A'

Logické spojky:
Konjunkcia dvoch výrokov A,B je výrok vytvorený ich spojením pomocou logickej spojky a=∩
Disjunkcia dvoch výrokov A,B je výrok vytvorený ich spojením pomocou logickej spojky alebo=v
Implikácia dvoch výrokov A,B(v tomto poradí) je výrok vytvorený ich spojením nasledovne: ak a, potom b=a→b
Ekvivalencia dvoch výrokov A,B je výrok vytvorený ich spojením pomocov logickej spojky práve vtedy keď=↔

Príklad:
Zistite v akej zostave môžu isť spolužiaci do kina, ak pôjdu do školy za týchto podmienok:
  1. Ak pôjde Mišo, potom nepôjde Fero
  2. Pôjde Jano alebo Mišo
  3. Nie je pravda, že pôjde Jano alebo Fero

Tieto výroky môžeme zapísať s použitím logických spojok:

  1. (M↔F')
  2. (JvM)
  3. (JvF)'

Kedže chceme zistiť kedy predchádzajúce výroky platia súčasne, spojíme ich pomocou konjunkcie. Teraz postupne vyhodnotíme individuálne spojky, ktoré majú pevne definované hodnotu pre rôzne kombinácie pravdivosti (1) a nepravdivosti (0). Napr. implikácia je pravdivá len ak je predpoklad pravdivý a zároveň aj jeho záver. Pretože z nepravdivého predpokladu je možné odvodiť akýkoľvek záver. Tieto kroky sú rozpísané v nasledujúcej tabuľke.

M F J F' M=>F' JvM JvF (JvF)' (M↔F')v(JvM)v(JvF)'
1 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0

Výroky príklady

Rozhodnite, či je veta pravidivý, nepravdivý výrok, hypotéza alebo nie je výrok.
Veta je nepravdivý výrok. PH=0

© Matematika.6f.sk
„Přátelství je součást lidského štěstí.“ Jan Werich