MATURITA Z MATEMATIKY


Sústavy rovníc a ich riešenie

Zadanie: Opíšte množinu riešení 2 lineárnych rovníc s 2 neznámymi, aj v prípadoch, že má sústava nekonečne veľa riešení, alebo nemá žiadne riešenie.

Riešenie:
  1. Dosadzovacia metóda - z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a dosadíme do druhej
  2. Sčítacia metóda- vhodne vynásobíme jednu alebo obe rovnice, sčítame a pritom jedna vypadne
  3. Porovnávacia - z každej rovnice vyjadríme tú istú neznámu a porovnáme
  4. Grafická(nepresná)

Sústava rovníc môže mať:

  • jedno riešenie
  • nekonečne veľa riešení
  • nemať riešenie
Príklad: Riešte sústavu rovníc s dvoma neznámimi.
2x+3y=8
2x+ y=4 /.(-1)

2x+3y=8
-2x- y=4

2y=4
y=2

2x+3.2=8
2x=8-6
2x=2
x=1
K={[1,2]}

V prvom kroku násobíme druhú rovnicu mínus jednotkou, tak aby sme sa mohli zbaviť závislosti na x pomocou sčitovacej metódy. To znamená, že pri sčítaní prvej a druhej rovnice nám vypadne jedna neznáma, v tomto prípade je to neznáma x. Potom riešime ako rovnicu s jednou neznámou. Alternatívne riešenie je vynásobit druhú rovnicu pomocou mínus 3, čím nám vypadne neznáma y.

Príklad: Riešťe sústavu rovníc s dvoma neznámimi.
2x+y=4 /.2
-4x-2y=-8

4x+2y=8
-4x-2y=8

0=0 K={x,4-2x}

V tomto príklade má rovnica nekonečne veľa riešení, pretože obi dve neznáme nám vypadli.

Príklad: Riešťe sústavu rovníc s dvoma neznámimi.
x+4y=-2 /.(-1)
x+4y=-3

-x-4y=2
x+4y=-3

0=-1 K=∅

Príklad: Riešte sústavu rovníc s tromi neznámymi

5x+2y+3z=9
-x+2y+z=-5 z=x-2y-5
3x-y+7z=15

5x+2y+3(x-2y-z)=9
3x-y+7(x-2y-z)=15

5x+2y+3x-6y-15=9
3x-y+7x-14y-35=15

8x-4y=24
10x-15y=50
x=(24+4y)/8

10(24+4y)/8-15y=50 -10y=20/(-10)
30+5y-15y=50 y=-2

x=(24+4.(-2))/8 x=2
z=2-2(-2)-5 z=1
K={2,-2,1}

Sústavy rovníc príklady


© Matematika.6f.sk
„Člověk, který nikdy neplakal nežil opravdový život!“ Jan Werich