Kružnica
Zadanie: Definícia kružnice, stredový tvar kružnice a všeobecná rovnica kružnice
Riešenie: Kružnica k so stredom S a polomerom r, je množina všetkýh bodov, ktoré majú od stredu S, rovnakú vzdialenosť(r>0)
| X[x,y] | S[x,y] |
Stredový tvar:
S[0,0]...x2+y2=r2
S[m,n]...(x-m)2+(y-n)2=r2
Príklad: k: (x-2)2 +(y+3)2=9
S[2,-3], r=3
Všeobecná rovnica:
x2+y2+ax+by+c=0
k:x2+y2-4x+6y+4
| Príklad: | Príklad: |
| k: x2+y2-8x-4y-5 | k: x2+y2-2x-2y+10=0 |
| (x2-8x)+(y2-4y)=5 | (x-1)2+(y-1)2=-10+1+1 |
| (x2-8x+42)+(y2-4y+22)=5+42+22 | (x-1)2+(y-1)2=-8 |
| (x-4)2+(y-2)2=25 | |
| S[4,2] | |
| r=5 |
Vzájomná poloha bodu a kružnice, priamky a kružnice
Kružnica a bod
k: (x-m)2 + (y-m)2 = r2
k: x2 +y2 +ax +by +c =0
M[XM,YM]
ľavá strana < pravá strana ...bod je vo vnútri kružnice
ľavá strana = pravá strana ... bod sa nachádza na kružnici k
ľavá strana > pravá strana ...bod sa nachádza mimo kružnice
Kružnica a priamka
p: ax+ by +c = 0 → x alebo y dosadíme do rovnice kružnice k a výjde nám kvadratická rovnica
D<0...0R žiadny spoločný bod
D=0...1R jeden spoločný bod[x,y]
D>0...2R dva spoločné body[x1,y1] [x2,y2]
Príklad: Kružnica sa dotýka 2 rovnobežiek, jej stred leží na priamke a. Napíšte jej rovnicu a určte súradnice stredu a polomeru.
p: 4x -3y +10 = 0
q: 4x -3y -30 = 0
S∈a: 2x +y=0
4x -3y -10 = 0
2x +y = 0 /.(-2)
4x -3y = 10
-4x -2y = 0
-5y =10
y =-2
2x +(-2) = 0
2x = 2
x=1
S[1,-2]
r = |Sp| = |Sq|=
, kde a je koeficient priamky, m1 je XS, m2 je Ys. Po dosadení nám výjde 4.
Stredový tvar
(x-1)2 + (y+2)2 = 16
Všeobecná rovnica:
x2 -2x +1 +y2 +4y + 4 =16
x2 +y2 -2x +4y -11 = 0